概述自由度DOF 唯一确定这个刚体位置和姿态最少需要几个独立的数字。你要能通过这些数字把刚体上任意一个点的位置都算出来而且这些数字之间谁也不能用谁表示。三维空间里一个自由的刚体需要 6 个独立数字3 个用来定位置平移3 个用来定姿态旋转案例一本在空中飞的书前提想象一本精装硬皮书你把它在房间里随手一扔它在空中边飞边转。现在我问你“请用最少的数字把这本书上每一点在房间里的位置都告诉我。”你需要怎么做我们一步一步来并且用真实坐标和数据推导。第1步先定书上随便一个点——比如左下角点 A房间坐标系已经有了墙角 X、Y、Z 轴。点 A 可以飘到房间任何地方它需要 3 个坐标A(xA,yA,zA) A (x_A, y_A, z_A)A(xA,yA,zA)比如我测出来A(1.2, 2.3, 0.8)单位米A(1.2, 2.3, 0.8)单位米A(1.2,2.3,0.8)单位米这 3 个数字谁也不能少这就是 3 个自由度。第2步再定书上第二个点 B——比如右下角点书是刚体A 和 B 之间的距离永远固定比如书的宽度是 0.2 m。所以 B 不管怎么动必须满足(xB−xA)2(yB−yA)2(zB−zA)2(0.2)20.04 (x_B - x_A)^2 (y_B - y_A)^2 (z_B - z_A)^2 (0.2)^2 0.04(xB−xA)2(yB−yA)2(zB−zA)2(0.2)20.04这是 1 个约束方程。B 本来要 3 个坐标现在有 1 个方程B 实际可以自由变化的只有 2 个独立坐标。B 本来要 3 个坐标现在有 1 个方程B 实际可以自由变化的只有 2 个独立坐标。形象地说B 只能在以 A 为球心、半径 0.2 m 的球面上跑。球面是二维的所以 B 贡献了 2 个自由度。比如选定 B 在球面上的位置可以用两个角度经度、纬度表示这就对应了你前面说的“轴的方向只需要两个夹角”。第3步再定书上第三个点 C——比如左上角点C 到 A 的距离是书的长度 0.3 m这也是固定的(xC−xA)2(yC−yA)2(zC−zA)20.09 (x_C - x_A)^2 (y_C - y_A)^2 (z_C - z_A)^2 0.09(xC−xA)2(yC−yA)2(zC−zA)20.09这是一个约束。同时书是刚体B 和 C 的距离也必须固定根据勾股定理对角线距离0.220.320.13≈0.3606 m \sqrt{0.2^2 0.3^2} \sqrt{0.13} \approx 0.3606 \, \text{m}0.220.320.13≈0.3606m所以第二个约束(xC−xB)2(yC−yB)2(zC−zB)20.13 (x_C - x_B)^2 (y_C - y_B)^2 (z_C - z_B)^2 0.13(xC−xB)2(yC−yB)2(zC−zB)20.13C 本来要 3 个坐标现在被 2 个独立的方程卡住它就只剩下 1 个自由度。几何上C 只能在一个圆上转——这个圆是两个球面的交线。这个圆正好就对应“刚体绕 AB 轴的自转”。用数据推导总自由度一开始如果我们不知道它是刚体三个点总共需要3 个点×3 个坐标9 个数字 3 个点×3 个坐标9 个数字3个点×3个坐标9个数字刚体给了我们 3 个独立的距离约束方程AB 长度固定AC 长度固定BC 长度固定独立坐标数 变量总数 − 独立约束数DOF9−36 DOF 9 - 3 6DOF9−36再按我们前面一步步加约束的加法DOF3⏟A2⏟B1⏟C6 DOF \underbrace{3}_{A} \underbrace{2}_{B} \underbrace{1}_{C} 6DOFA3B2C16完美对上。这 6 个自由度怎么跟“平移旋转”对应以上面飞行的书为例A 的 3 个坐标(xA,yA,zA)(x_{A},y_{A},z_{A})(xA,yA,zA)→ 书本质心可以随便移动这是 3 个平移自由度。B 的 2 个自由度球面上的经度、纬度→ 确定了书的底面 AB 轴指向哪个方向相当于定出俯仰和偏航两个旋转角。C 的 1 个自由度在圆上转→ 确定了书本绕 AB 轴自转了多少度这就是第三个旋转角。平移 3 旋转 3 6跟前面的三点推导严丝合缝。“轴夹角”的思路先定质心3 个坐标再定转轴方向因为方向余弦平方和为 1所以只需要 2 个独立角最后定绕轴自转角1 个也是 3216。只是这里把“B 的球面经纬度”换成了“轴的两个角度”把“C 绕交线圆”换成了“绕轴自转角”本质是等价的总结“刚体的自由度”用最通俗的话总结就是要完全讲清楚一本书在空中怎么飞你需要告诉我它在哪里3 个平移数字 它朝向哪边、自己转了多少度3 个旋转数字一共6 个数字一个不能多一个不能少。
